受験関連用語集

数学における半群（はんぐん、英: semigroup）は、集合 S とその上の結合的二項演算とをあわせて考えた代数的構造である。言い換えれば、半群とは演算が結合的なマグマのことをいう。半群の名は、既存の群の概念に由来するものである。半群は、各元が必ずしも逆元を持たないこと（さらに、単位元すら持たないかもしれないこと）が、群と異なる。
半群の演算はほとんど乗法的に書かれる（順序対 (x, y) に対して演算を施した結果を x • y などで、あるいは単に xy で表す）。
半群についてきちんとした形での研究が行われるようになるのは20世紀の初めごろからである。半群は、「無記憶」系 (“memoryless” system) すなわち各反復時点でゼロから開始される時間依存系 (time-dependent system) の抽象代数的な定式化の基盤であるので、数学の各種分野において重要な概念である。応用数学においては、半群は線型時間不変系の基本モデルである。また偏微分方程式論では、半群は空間発展的かつ時間非依存な任意の方程式に対応している。有限半群論は1950年代以降、有限半群と有限オートマトンとの間の自然な関連性から、理論計算機科学の分野で特に重要となった。確率論では半群はマルコフ過程に関連付けられている (Feller 1971)。