受験関連用語集

数学において、商群（しょうぐん、英: quotient group, factor group）あるいは剰余群、因子群とは、群構造を保つ同値関係を用いて、大きい群から似た元を集めて得られる群である。例えば、n を法とした加法の巡回群は、整数から、差が n の倍数の元を同一視し、そのような各類（合同類と呼ばれる）に1つの実体として作用する群構造を定義することによって得られる。群論と呼ばれる数学の分野の一部である。
群の商において、単位元の同値類はつねにもとの群の正規部分群であり、他の同値類たちはちょうどその正規部分群の剰余類たちである。得られる商は G/N と書かれる、ただし G はもとの群で N は正規部分群である。（これは「G mod N（ジーモッドエヌ）」と読まれる。”mod” は modulo の略である。）
商群の重要性の多くはその準同型との関係に由来する。第一同型定理は任意の群 G の準同型による像はつねに G のある商と同型であると述べている。具体的には、準同型 φ: G → H による G の像は G/ker(φ) と同型である、ただし ker(φ) は φ の核 を表す。
商群の双対概念は部分群であり、これらが大きい群から小さい群を作る2つの主要な方法である。任意の正規部分群 N は、大きい群から部分群 N の元の間の差異を除去して得られる、対応する商群を持つ。圏論では、商群は商対象の例であり、これは部分対象の双対である。商対象の他の例は、商環、商線型空間、商位相空間、商集合を参照。